改进的递推主元分析及递推主元回归算法

  程龙，王桂增

(清华大学自动化系，北京100084)

   摘    要：为了加速模型在线更新的速度以更好地适应实际工业过程的动态变化，通过在已有递推主元分析(PCA)算法的基础上简化了自相关矩阵的递推公式，从而改进了基于秩1更新的递推PCA算法，把原来需要进行2次秩1更新的步骤简化为仅仅需要进行一次秩1更新，并在此基础上提出了递推主元回归算法。仿真结果表明，改进后的基于秩1更新的递推PCA算法比原来的基于秩l曼新的递推PCA算法缩短了近一半的运算时间，而新的递推主元回归算法，不但能够适应工业过程的动态变化，并且比批处理的方式节约了存储空间与计算时间。

关键词：递推主元分析；自相关阵；秩1更新；递稚主元回归

中图分类号：TP 27    文献标识码：A

Improved Recursive PCA a nd Recursive PCR Algorithms

    CHENG Long，WANG Gui-zeng

    (Department ofAutomation．Tsinghua University，Beringl00084，China)

Abstract．To accelerate the model 0n-line modificatlon a nd accommodate the industrial process change，an efficient recursive PCA al-gorithm using rank-one modification a nd a novel recursive PCR algorithm are proposed by improving the approach of updating correlationmatrix  Simulation resuits show that the improved recursive PCA based on rank-one modification shotren the computational time in con-trast with the existing recursive PCA algorithm  Moreover．the recursive PCR algorithm Call adapt process changes a nd need less corn-puting time a nd memm?usage than batch PCR algorithm

Key words：reellisive PCA；coneiation matrix；rank-one modification；recursive PCR

1引言

主元分析(PCA)是一种将多个相关变量转化为少数几个相互独立变量的统计分析方法。

  主元分析由Pearson^[1]最早提出，后经Hoteling^[2]加以改进。主元分析可以将很多相关过程变量压缩为少数独立的变量，因此被广泛应用于过程监控^[3]，故障诊断^[4]等领域。

    实际的工业过程通常表现出时变特性，用主元分析法建立的模型随着时间的推移将出现明显的偏差，为此，需及时对模型进行更新，而如果采用将新数据和旧数据结合重新进行主元分析，计算量很大。针对上述情况，Wold提出了指数加权平均主元分析的方法^[5]，Rigopoulos等提出了滑动窗结合主元分析的方法^[6]，而Liw H等提出了递推PCA算法^[7]，对数据矩阵的均值、标准差进行递推更新，从而递推求出规范化后的数据矩阵，进而得出自相关阵的更新公式，最后利用秩1更新得出负荷向量和得分向量。

     本文针对Li WH等提出的递推PCA算法，简化了自相关阵的递推公式，改进了基于秩1更新的递推PCA算法，并给出了输入输出变量协方差矩阵的递推公式，提出了一种新的主元回归递推算法(PCR)，仿真实验证明了方法的有效性。

2改进的递推PCA递推算法

  1)基于秩1更薪的递推PCA算法定义全部k个原始输入数据块组成的矩阵为

    其中，每一行代表一个样本，每一列代表一个输入变量。

    全部(k+1)个原始数据块组成的矩阵为X^o_k+1形式与X^o_k相同。若前K个数据块长度为Mk，考虑每采样一次进行一次递推，则包括新来数据的所有(k+1)个数据块的长度为N_k+1=N_k+1。Weihua Li H指出^[7]，每当新数据x⁰_k+1来时。可以递推计算出原始输入数据矩阵中各变量的均值、标准差和规范化后的输人数据矩阵，进而得出自相关阵的递推公式。

  均值向量的递推式为