一维时间序列重构无刷直流电动机混沌吸引子特征

    闰世杰¹，曹继伟²，王长义¹

(1渤海船舶职业学院，辽宁葫芦岛125000；2.沈阳工业大学，辽宁沈阳110023)

    摘要：基于相空间重构原理，针对无刷直流电动机的混沌模型，运用一维时间序列在高维情形下对低维混沌吸引子进行重构，重构后的方程具有和原动力方程相同的动力学特性，并通过基于混沌优化算法的改进方法对重构前后方程的]yapunov指数进行比较，并通过与小波变换后的相图比较证明了重构方法的实用性。结果表明：采用的重构方法是有效的，与前人的方法比较具有简单、快速的特点，为进一步研究混沌预测和混沌控制提供了基础条件。

    关键词：相空间重构；时间序列；吸引子；无刷直流电动机；混沌

    中图分类号：TM33  文献标识码：A  文章编号：1004—7018(2008)05—0018—03

0引言

    无刷直流电动机是一个多变量、强耦合、非线性的系统，在实际运行过程中经常出现一些不规则的现象，如转矩的剧烈震荡、噪声和不稳定运行等^[1]，这些现象都会严重影响无刷直流电动机的性能，所以有必要研究这些现象发生的特征并判断这些现象的出现，以便对电机混沌运行进行控制。由于混沌系统的复杂性，在现实中混沌模型又多是未知的，所以由实际观测的混沌时间序列来研究原混沌系统的动力学特征具有特别的意义；但是由于实际所能直接观测的混沌数据又是极为有限的，如电机系统中只能观测电机的外部行为，如转速、转矩，而无法实时测得电机内部行为，如电流、电压等数据，因此由一维时间序列重构混沌吸引子就具有更为深广的意义。

    通常，一维时间序列的混沌吸引子重构都是在低维条件下进行，通过确定****嵌入维数和延时时间间隔来重构吸引子。但是复杂的动力系统的混沌吸引子重构对其要求是极为苛刻的，而且****嵌入维数和延迟时间间隔的确定又富有技巧性并且需要一定的计算时间。因此，若可以在高维环境下对吸引子进行重构，就可以省去这些步骤，有助于混沌控制方案的实施。

1重构原理及重构模型

    对于混沌动力学的研究表明：长期演化的混沌动力系统中任一一维时间序列中都蕴含着整个系统演化的信息，因此可以从任一一维时间序列中提取长期演化的混沌系统的信息，进而对系统进行重构。Takens从理论上证明了可以从系统的一个变量的时间序列就可以重构一个同胚于原来系统的混沌吸引子。

    定理：设时为m维紧致流形，F为M上的C₂相量场，Φ_t是F产生的流，V是M上的光滑函数，由定义Φ_F,V(x)：M-R^2m+1是个嵌入。

    当嵌人定理应用于观测到的一维时间序列中时，它隐含意味着存在一个拥有2m+1个变量光滑函数可以反映出原方程的动力学特征。以往的研究中^[2]，多采用计算****嵌入维数以便在较低维中重建混沌吸引子，但是当计算出的****嵌入维大于3时，低维中重构吸引子和高维中重构都一样无法展示出混沌吸引子的样子，因此本文中直接以在高维中进行吸引子重构，并观察重构后方程任意三维的图形和单一变量流图进行判断吸引子特征是否保留。

    高维相空间重构的思想就是：估计重构的动力系统的维数，将已观测到的时间序列分成2m+1段子时间序列，将2m+l段子时间序列作为2m+1维的每维数据，通过最小二乘法拟合出光滑函数的方程系数，从而完成重构。所用的重构模型为：

2无刷直流电动机吸引子重构及对比分析

2 1吸引子重构

    在一定的假定条件下，经过坐标变换、线形仿射变换和时间尺度变换后^[3-5]，可得到深海机器人元刷推进电动机系统的数学模型的状态方程：

式中：μ，γ，σ和υ为动力系统结构参数。u_d,u_q,T_l为经过变换后的直轴电压、交轴电压和负载转矩。i_d、i_q、ω为变换后的直轴电流、交轴电流和电机转速。

    设所研究的推进电机参数取值为μ=1.00、σ=5.58、y=19.55、v=0取