磁悬浮控制系统的状态空间设计

    李莎¹，许贤泽²

(1湖北第二师范学院，湖北武汉430205；2武汉大学，湖北武汉430079)

    摘要：介绍了单电磁铁悬浮系统的动态模型，并以该动态模型为基础，采用状态空间法设计了以电压作为输入控制量的闭环控制器，并且运用Maflab进行了相应的仿真。该方法简单实用，控制参数无需经验试凑。试验结果表明，系统控制效果良好，有一定的实用价值。

    关键词：磁悬浮系统；非线性；状态空间法；极点配置

    中图分类号：TM301．2  文献标识码：A  文章编号：1004—7018(2008)06—0010—03

  磁悬浮系统是一个复杂的非线性系统，传统的系统控制器常采用基于传递函数模型的设计法(如HD设计法^[1,2])，在设计过程中，其主要控制参数往往需要凭经验试凑；而状态空间设计法是一类以系统状态空间模型(即状态空间表示式)为基础的分析设计方法，基本上不需要凭经验试凑。

1磁悬浮系统的状态方程

    磁悬浮系统一般由多个电磁铁组成，而其中每个电磁铁的动态模型一般是相同的。图1为单个电

磁铁与金属导轨组成的悬浮系统工作原理图。图中，mg为电磁铁重力,f_d为外界扰动量，F(i，t)为电磁吸力，z(t)为磁极表面相对参考平面的距离，h(t)为导轨表面相对参考平面的距离，c(t)为磁极与导轨问的气隙，i(t)为控制线圈电流，u(t)为绕组回路的电压。

   取重力方向为正方向，选择(△c，△c，△i)T作为状态变量，并对系统进行平衡点(i。，c。)附近线性化处理，可得以下状态方程(忽略铁心和导轨中的磁阻以及绕组漏磁通)：

铁磁极面积，N是电磁铁线圈匝数。

    可见，此系统是一个三阶开环系统。通过劳斯(Rol-th)判据可知，它具有不稳定性。因此，为了保证电磁铁能够稳定悬浮，需要给这个系统加一个反馈控制。

2状态空间设计法

    状态空间设计法是通过状态反馈控制系统状态行为来实现控制目标的。其着眼点是系统的内部特性和系统状态的行为。其设计任务是确定控制目标和求解可实现控制目标的状态反馈控制律^[3]。采用此设计方法需有一个前提，即系统必须具有能控性和能观性。

2．1系统的能控性和能观性

    系统的能控性和能观性都是系统的一种内在特性，分别反映系统控制作用和输出量与系统状态之间的特征关系，它们都是由系统本身结构和参数所决定的。忽略式(1)中的轨道形变△h(t)和动态干扰f_d(t)，可得该方程的系数矩阵:

通过式(2)、式(3)可知，系统的能控阵和能观阵的秩均为3，故系统既可控又可观。

2．2系统的极点配置

    既然系统是完全能控的，则配置系统的闭环极点，可以使得原来不稳定的受控对象变为闭环稳定。由式(1)可知，以电压为输入控制的磁悬浮线性化系统是一个三阶系统^[4]。于是选择一对主导极点为：

式中：ζ和ω_n分别是二阶系统的阻尼系数和无阻尼自振角频率。将另一个极点定于主导极点左边较远的地方，使得该极点对闭环系统的动态性能影响很小。这样就可以把系统看成是只有主导极点的二阶系统。

    设闭环系统满足以下动态指标：输出超调量σ≤百分之2.O，调整时间t_s≤O.10s。二阶模型的超调量和调整时间近似计算公式：

取ζ=0.80，ω_n=52，代人式(4)可得主导极点为λl,2=-41.6±j31．2，再选择极点λ3，为十倍远，即λ3=-500，则系统期望的闭环特征多项式为：

3系统控制器的设计与仿真

  引入状态反馈控制律：