基于改进鲍威尔法的单相电机优化设计

    金明  吴新振(青岛大学山东266071)

    【摘  要】鲍威尔法是一种可用于电机优化设计的直接搜索法。通过改进后，该法既具有收敛速度快的优势，又避免了原方法不保证各轮迭代中前n个搜索方向线性无关的弊病。文中将改进的鲍威尔法用于单相电机优化设计，取得了令人满意的结果。

1  引  言

    电机的自动优化设计是在****化数学理论的基础上，借助计算机以选出****方案的一种设计方法。随着计算机性能的不断提高及优化理论的不断完善，这种设计方法得到了越来越广泛的应用。单相电机只需要单相电源供电，且具有结构简单、运行可靠、维修方便等特点，广泛应用于家用电器、电动工具、医疗器械及轻工设备中。这种电机量大面广、种类繁多、更新换代快，因此计算机辅助分析计算及优化设计显得尤为重要。

    单相电机的优化设计在数学上可归结为有约束、多变量、非线性的混合性规划问题，其目标函数具有多极值点的特性。对该类优化问题，目前常用的方法是先通过引入罚函数将有约束优化转化为无约束优化，然后再利用直接搜索方法进行求解。

    直接搜索方法有很多种，各有其优缺点。对于电机优化设计，鲍威尔法是比较有效的一种方法。该方法的突出优点是收敛速度快，尤其是当优化变量数目增多时更为明显。本文将改进的鲍威尔法用于单相电机优化设计的研究，取得了令人满意的结果。

2鲍威尔法及其改进

    鲍威尔法又称方向加速法，它是powell以构造共轭搜索方向的经验为基础而提出的。原始鲍威尔法的迭代步骤如下：

    第1步  选取初始数据。选取初始点x⁰，n个线性无关的初始搜索方向{p⁰，p¹，…，p^n-1}₀。，给定终止误差ε>0，令k:=0。

第2步进行基本搜索。令y⁰：=x^k,依次沿{p⁰，p¹，…，p^n-1}_k中的方向进行一维搜索。设对应地得到辅助迭代点y¹，y²，…，yⁿ，即

   第3步进行加速搜索。令pⁿ=yⁿ-y⁰。若‖pⁿ‖≤ε，停止迭代输出x^k+1=yⁿ。否则，求解设得到****解tn，令x^k+1=yⁿ+t_npⁿ。

第4步调整搜索方向组。在原来n个方向中，除去p。增添加速方向pⁿ，构成新的搜索方向组{p⁰，p¹，…，p^n-1)_k+1，即

  令k：=k+1，转第2步。

  原始鲍威尔法的主要缺点并不保证各轮迭代中前n个搜索方向的线性无关性，从而有可能导致求解失败。为此需对原始鲍威尔法进行改进。

    第3步构造加速方向。令pⁿ=yⁿ-y⁰。若‖pⁿ‖≤ε，停止迭代输出x^k+1=yⁿ。否则进行第4步。

    第4步确定调整方向。按下式寻找m，使得

若f(y⁰)-2f(yⁿ)+f(2yⁿ-y⁰)<2[f(y^m-1)-f(y^m)]成立，则进行第5步。否则，进行第6步。

    第5步调整搜索方向组。求解

设得到****解tn，令x^k+1=yⁿ+t_npⁿ。同时，令

    令k：=k+1，转第2步。

    第6步不调整搜索方向组。完成不使用pⁿ的本轮迭代。令x^k+1：=yⁿ，k：=k+1，转第2步。

3电机优化的数学模型

电机优化的数学模型可归纳为：在满足约束条件g_i(x)≤0的情况下，求各变量x_i(i=1，2，…，n)的值，使目标函数f(x)最小。式中x=(x₁，x₂，…，x_n)^t。