永磁步进电动机磁场的计算
郭 宏 王宗培 郭庆吉 刘桂芝(哈尔滨工业大学)
l 引 言
为了保证步进电动机合理设计和可靠运行，需运用数值解法计算电机的磁场。电机电磁场的数值解法中，有限元法最常用。在有元法的整个计算过程中，非线性方程组的求解占有关键的地位。由于电机磁路中铁磁材料部分的磁饱和特性，使得所建立的非线性方程组具有较复杂的结构形式，这就常常引起非线性方程组求解过程的不收敛性。本文通过对一台二相永磁步进电动机空载磁场的实际解算，具体分析非线性方程组求解过程中出现的不收敛性，并采用可变步长的牛顿一拉斐森法解决牛顿一拉斐森法(定步长)大范围不收敛，使得迭代初值的选取具有较大的任意性。
2二相永磁步进电动机空载磁场有限元计算的不收敛性
二相永磁步进电动机的子具有24个齿(均布)，转子具有18个磁极(****磁钢，N、S均布)。据其结构特点，可以选择圆周60o范围为求解区域，其余区域内磁场分布与其相同或对称。图l是这一区域的剖分图，共有344个节点，630个单元。
利用矢量位A求解，边界I、Ⅱ具有第一类边界条件(A—O、，边界Ⅲ、Ⅳ具有半周期边界条件  在半周期边界条件的处理上采用了不降阶的处理方法，即在  边界Ⅲ的节点上建立方程时，考虑边界Ⅳ内侧单元的作用，而在边界Ⅳ的节点上建立方程时，亦考虑边界Ⅲ内侧单元的作用[1]。从而得非线性方程组：
刚度矩阵[K]中的元素是通过A—B
 这一顺序过程求得的，K值与A值之间具有较复杂的关系。 对式(1)采用传统的牛顿一拉斐森法(定步长)求解，迭代公式是：
[A]的初值[A]（0）的选取是认为规定媒质系数全部为线性（对于非线性材料，取磁化曲线线性段斜率），将非线性方程组直接作为线性议程组求解一次获得。
利用这种传统的方法解算二相永磁步进电动机时，发现迭代是不收敛的，选择取了不同的初值，仍得不到收敛结果，具体表现有两种，一是迭代进行到某步以后，A值出现振荡，达不到预定的精度；二是迭代最初几步就出现齿磁密大于2.0T的情况，计算无法继续。
根据牛顿一拉非森法的局部收敛性定理，要解决不收敛性，需进一步选择非常接近
真值的初值[2][A](0)。但是，要选择这样的初值，需经过反复的试算，计算量太大，而且，不同的区域需选择不同的初值才行，这样做是很困难的。
通过反复的摸索，采用了一种称为可变步长的牛顿一拉非森法，解决了磁场计算中出现的不收敛性，使得初值的选取是大范围的，提高了收敛性。
3 可变步长的牛顿-拉非森法的实际应用
可变步长的牛顿-拉非森法迭代公式为：
与传统的牛顿一拉非森法（定步长）比较，主要区别在于增加了变步长因子   变步长因子[ω]<k>可随迭代步数的不同而自动调整。[ω](k)的调整是依据于每步迭代的误差[R]-[F](k)而定的。 在对这台二相永磁步进电动机空载磁场进行解算时，发现位于边界Ⅲ、Ⅳ上的点191,213,...,301;212,234,...3 |
