摘    要：多重稳定性是许多分子生物模型重要的动力学行为，它在分析细胞分裂和生长现象中起到关键性的作用。为了了解细胞内的复杂的调节网络的动力学行为，将其数学模型进行单调分解为若干个单调控制系统的互联。对具有惟一定义的稳定状态响应的单调控制系统，引入了具有保持局部稳定性质的简化系统，根据简化系统的平衡点与原来单调控制系统的平衡点之间存在的一一对应的映射关系，可推知单调控制系统的平衡点的位置及其稳定性，进而通过确定单调控制系统的平衡点的位置及平衡点的稳定性，来确定整个互联单调控制系统的平衡点的位置及平衡点的稳定性。由于简化系统降低了原来生物系统模型的雏数，这为分析复杂生物系统的稳定性提供了一种可行的途径。

关键词：多重稳定性；单调控制系统；简化系统；平衡点

中图分类号：tp 27    文献标识码：a

    在基因后组时代，生物学家和数学家面临的****的挑战就是通过对复杂的细胞内的调节网络的研究来了解细胞的具体行为。在细胞内，是由蛋白质、dna，rna、代谢产物和其他物质组成的调节网络来处理外部的环境信号、控制内部事件（如基因表达）以及产生适当的细胞响应。尤其支持多重稳定性和周期性行为的调节网络近年来越来越受到人们的关注：多重稳定性是许多分子生物模型重要的动力学行为，在分析细胞分裂和生长现象中起到关键性的作用。多重稳定性及相关的滞后和振荡现象是分子系统生物研究的重点。

    在应用单调控制系统理沦时所面临的****的困难就是决定稳定状态的位置和数量。文献[3]把复杂的系统分解成由带有单输入单输出的单调系统通过单位反馈连接成具有惟一定义的i/o特性和满足单调性条件的闭环系统，然后根据简化定理把单调分解后的闭环系统简化为一维离散迭代方程。然而文献[3]，考虑的i/o特性及i/s特性都是单值函数，本文通过把文献[3]中的结论推广到i/s及l／o特性是多值函数的情况，介绍能保持原单调系统的局部稳定性质的简化系统及通过分柝简化系统的稳定性来推断原单调系统的稳定性。

  单调动力系统通常是定义在有序巴拿赫空间上的，这里所讨论的有序巴拿赫空间是一个实空间b，且具有一个奇异的非空闭子集。在这篇文章里，所讨论的k是定义在欧式空间上的，且是一个非空闭凸集。它具有以下几种性质：

    由上述正锥k的定义，引入序的概念。

    定义1（偏序关系）若x1≥x2，当且仅当x1-x2∈k则称≥为定义在k上的偏序关系。

    考虑具有输入输出的非线性控制系统：

 

    式中，x∈x，u ∈u，y∈y，且x是rⁿ上的一个开子集的闭包且赋予了由k^x∈r所诱导的序；输出集y和输入集u也分别是其自己内部的闭包且赋予了由锥k^y∈r和k^u∈r^p所诱导的序。

    在不引起混淆和从文中司以知其意的情况下，可以统一用k来代替k^x，k^y，k^u。同时，假设：

    f：x×u—y rⁿ在xxu上是连续可微的且f在x上满足局部利普希茨条件和在u 上是一致连续的，函数h：x一y在x上也是连续的。

    下面给出单调控制系统的定义。

    定义2（单调控制系统）  若系统(1)满足下面给出的条件：

   则称系统(1)是单调控制泵统。

    x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且满足初始条件x(0)=ε的解。由单调控制系统的定义，还可进一步给出强单调控制系统的定义。

    定义3（强单凋控制系统）  若系统(1)满足下面给出的条件：