摘  要  采取了四个有效措施以促进边界元法的实用化，它们是，提供了一个适应性很强的三维前处理系统；将可视化技术嵌入到分析和优化的软件系统中；采用半解析函数大幅度地降低了数值分析问题中的未知数；提供了一个解高阶非对称满阵方程组的新解法。

    叙  词  边界元法可视化半解析函数满阵方程组

    电磁场数值分析只有几十年的历史，由于它的出现使得高压大容量电工设备的分析从定性走向了定量，因而节省了大量原材料，加之结合优化手段提高了设计水平，所以大大增强了电工产品在国际市场上的竞争力。目前，电磁场数值分析中使用的离散化方法很多，但基本上可以归成两大类：有限元法和边界元法，另外还有一些方法，可以认为是它们的变种或者是该两种方法的结合。其中有限元法相对于边界元法，研究得比较成熟，使用得也比较多，国内外已有许多很有特色的软件包。而边界元法提出较晚，但因它具有独特的优点，所以一经提出，立刻获得了科技工作者的广泛关注。但成熟的边界元法软件包尚不多见，主要原因有，缺乏适应性很强的前处理系统软件包；可视化技术应用不够广泛，例如80年代后期起的踉踪处理技术尚未得到应用；剖分单元一般限于三角元或四边形单元，因此产生的未知数很多，计算时需要大量的内存和CPU时间；由于边界元法中的系数阵是满阵，还缺乏解满阵的有效方法。本文针对这些问题，介绍采用一些有效措施后获得的满意结果。

    前处理系统提供计算程序中所需要的大量剖分数据，因此是软件包的重要组成部分。一个好的前处理系统应具有适应性强、易维护、易扩充的特点，否则难以推广。研制的前处理系统适应面很宽，它包括与拉格朗日插值函数对应的多边形单元和与环带状半解析函数对应的环带状单元，前者适用于任意形状的剖分，后者能解决具有轴对称结构件的剖分。以前作者曾为多边形单元单独研制过一个“积木式”的前处理系统[1]，效果很好。鉴于在高压大容量电工设备中，具有轴对称结构的部件数量很多，因此已将该系统扩充为由两种类型单元组成的“积木式”前处理系统。由于当两种单元相接时，既要考虑消去重复节点，又要顾及被消去节点上的等效源作用，因此通过采取了一些特殊措施后，才解决了两个看来互相矛盾的问题。

    可视化技术在软件包中主要起着三个方面的作用，前处理、跟踪处理和后处理。在前处理中[2]，可视化技术可帮助和指导用户准备初始数据，并在自动剖分程序的支持下，可逐一进行各组件及整体的显示。通过图形，用户能及时发现各组件的初始数据或各组件间的相互位置是否正确，一旦发现有误，可马上进行修改，直到满意为止。在分析离子源引出系统的自治解及优化过程中，将可视化技术嵌入优化分析系统，进行了跟踪处理，以便能及时了解进程中发生的问题，特别在调试阶段发挥了很大的作用，节省了大量时间，使之在较短的时间内完成了调试。后处理的可视化是在系统中构造了一个屏幕编辑系统，它将计算机屏幕分成图形显示区、菜单区和对话区三部分，不仅可以看到条数可控的彩色等位线，用颜色填块显示的等位线，也可看到场强的分布图及场强大的区域显示，这些图形都可根据需要进行缩放。

    该方法适用于具有轴对称结构件的三维场分析，它的基本单元称为环带状单元，如图1所示。

 

    设环带状单元表面的等效源，则沿tl-t2段的艿可表示成：

         

    式中  和分别为点tl和t2的等效源，而Ni和Nz分别为节点tl和t2的形状函数，在局部坐标系中的表达式为：

    

    再将式(1)中的，和  沿圆周方向用Fourier级数展开，有：

 

    环带状单元j产生在场点i的电位为：

 

   式(3)中沿圆周方向的积分可以由半整数次的勒让德函数Qk-{(Y)表示，即有：

   可变换到局部坐标系中， 沿轴向方向积分ef(t)dt  因此式(3)可以写成：

    式中令Po1和p02为零，将上式中的积分项进行一维高斯积分，且沿圆周方向任意选取2m+l个匹配点，即能求出电荷密度展开式中的各次谐波系数。

    由于表达式中沿圆周方向可用特种函数表达，所以它是半解析函数，其中未知数是Fourier级数中的各项系数，大量计算表明，该级数收敛很快。一般m取3～8即可。如果用三角元或四边形单元剖分，则未知数肯定比这种单元多，当轴对祢件的半径愈大，则二者的差距就愈大。因此用半解析插值函数（即用环带状单元剖分）计算，可大幅度降低未知数的数目，这对求解方程组是十分有利的。若实际单元之间不是直线而是一条曲线，则可用B样条基予以展开，这样组件的剖分数可进一步减少，从而达到了既减少未知数又提高计算精度的效果，并且适应能力也增强了。

    至今为止，数学中的计算方法对解满阵非对称线性方程组缺乏有效的算法，所以它一直是边界元法向工程界推广应用的一个瓶颈。本文通过改进基于行主元的高斯约当消去法而探讨了一种新解法，获得了满意的效果。

    设有以阶的满阵线性方程组为：

 

    经过第k-l次消去过程后可得：

   

  

    上式中的上标(k-l)表示已完成了第k-l次消去过程后得到的元素这样直到k-n时，便可以得到方程式消去过程如下

                    

           

    需要指出，高斯一约当消去法是建立在高斯消去法的基础上，但不需要象高斯列主元消去法那样有一个回代过程。因此必须将这些非零元素存储起来。根据上述系数阵消元的特点，并且为了有效地利用计算机的存储空间及节省时间。

    有限元方程中的系数阵是一个带状阵，它的带宽远少于方程组的阶数，用波阵法求解时可以节省大量的内存。波阵法实质上是高斯一约当消去法的一种应用，所以用本文的新方法求解满阵方程时也可节省大量的内存。但在元素的存储上应考虑到满阵的特点，开辟一个二维数组来存储系数阵[A]中在消去过程中的非零元素。

    (1)对于是≤号时，经第忌步消去过程后得到的

          

 (2)存放在如下列所示的元素中：；

                  

    这样，只需要在十号个单元的内存空间就可存储本来需要nz个内存单元才能存储的信息。

    计算结果表明，这种新的解法所需的计算机内存资源是高斯列主元消去法的1/4，而在误差相当的条件下，计算时间又较高斯列主元消去法减小了很多，约可节省百分之40左右，它随方程组阶数的不同而有所不同（参见表1）。以往许多计算方法的改进，经常是节省了内存但增加了CPU时间，或者后者减少了而前者又增加了，但本文的新解法却获得了这两方面的优点。目前在有4兆内存的微机上已能计算1800×1800阶的满阵线性方程组，从所用的时间及需要的计算机内存来看，如此高阶数的线性方程组，过去只能在微机上实现，并且使多边形单元边界元程序的计算速度提高了4～5倍，而计算机能解的满阵线性方程组的未知数的数目又可增加一倍左右。因此，新解法在将边界元法推向实用化过程中起到了十分重要的作用，而且由于解法的通用性，可以在各个领域中推广。

    (1)C指本文提供的新解法，D指高斯消去法。

    (2)算例中的系数阵A及右端项B的元素如下：

 

   

  (3)表1说明，用高斯消去法解900×900阶的矩阵（使用1386DX机，4兆内存），误差已不能满足要求。

    (1)由多边形剖分单元和环带状剖分单元组成的前处理系统具有很强的适应能力，它既适应于三维电场、磁场，也适应于离子源光学系统的剖分等。

    (2)将可视化系统嵌入到分析和优化系统中，可以发挥多方面的作用，如能提商纠错和控制能力，特别能提高系统的调试速度。

    (3)引用半解析插值函数，可以大幅度地降低剖分未知数。本文所介绍的环带状单元对求解具有轴对称结构的三维电场或磁场都有很高的效率。

    (4)本文提供的求解满阵非对称线性方程组的新解法，是一种省时省力省资源的有效方法。