摘要：为了获得计时电阻和电感的无刷直流电机的平均电磁转矩的解析表达式，通过对反电势梯形波平顶120度的三相无刷直流电动机换相过程进行分析，得到考虑绕组电磁时间常数的平均电流和平均电磁转矩解析解，并以两个典型样机实测数据与计算结果对比验证。给出的计算公式可用于工程计算和分析研究。

关键词：无刷直流电动机；换相过程；电磁转矩；步进电机驱动器

中图分类号：TM36 +1    文献标志码：A    文室编号：1001-6848[2010)05-0013-06

  无刷直流电动机绕组参数包含电阻和电感。电感是对电机性能有重大影响的参数，但至今正式出版的包含无刷直流电机设计内容的书籍基本上都采用直流电机模型（只考虑绕组电阻），忽略了绕组电感的影响，这就势必导致电机性能的计算值与实际值之间有较大的偏差。从本文下面的例子可见，偏差十分明显。而在分析换相过程对转矩波动影响的文献中，却忽略了电阻只考虑电感的作用。这是因为求取同时计及电阻和电感的无刷直流屯动机数学模型解析解比较困难，还没有一个可用于工程计算的简洁的表达式的缘故。

  无刷直流电动机换相过程各相电流变化以及其工作特性可以采用其数学模型借助仿真工具获得数值解，但人们还是期望从其数学模型得到解析解。这是因为解析解能够揭示电机内在参数与外特性之间的函数关系，从而为电机设计和性能预测提供简洁的计算方法，为电机性能的改善指出明确的方向。不少文献在分析换相过程中假定反电势梯形波形的平顶部分大于120度电角度，这个假定条件对于时间常数大换相过程比较长的电机，实际上就是要求平顶部分达到180度，这与实际的电机情况相差甚远。文献[15，16]平均电流和平均电磁转矩取值范围有误，未能取得最终正确结果。

  本文对梯形波反电势平顶为120度的三相无刷直流电动机换相过程进行分析，给出了在一个换相周期内三相电流瞬时值的解析解，进而得到平均电流和平均电磁转矩的解析表达式。分析表明，无刷直流电动机的平均电流和平均电磁转矩可表示为参数x的函数，体现了它们与绕组电磁时间常数的密切关系。给出转矩系数KT与反电势系数KE关系式。然后，以转子磁片表面粘贴和磁片切向内置两个典型结构不同功率等级样机的实测数据与公式计算结果对比验证，也对比了计及电感和忽略电感计算结果的差异，说明本文的分析和给出的解析计算公式可用于无刷直流电动机的工程计算和分析研究。

  下面的分析是对三相星型六状态工作方式下的无刷直流电机进行，其电机和功率桥电路原理图如图l所示。

    为方便换相过程的分析，作如下假设：

    1)三相对称，反电势为梯形波，平顶部分等于120度电角度；

    2)忽略开关管和续流二极管的管压降。无刷直流电动机的换相过程的换流时间通常在毫秒级，而开关管本身的关断时间在微秒级，因此完全可以忽略开关管本身关断时间对换流过程的影响；

    3)忽略电枢反应、齿槽效应和磁路饱和的影响；

    4)相绕组的等效电感为常数；

  5)换相过程中电机的转速。保持恒定。

  在图1中，U为输入到逆变器的直流电源电压，R和L为一相的等效电阻和一相的等效电感，且有L=Ls-M，其中L。为相绕组自感，M为相绕组间的互感，假设磁路的磁阻不随转子位置而变化，Ls和M均为常数。u，e，i分别是各相的绕组端电压、反电势和电流的瞬时值。并规定相电流以流向绕组中心点为正向电流，相电压以中心点为参考点。

    电机等效电路的电压平衡方程式为：

 

  三相绕组桥式120度导通方式按如下顺序换相：A/B - A/C - B/C - B/A - C/A - C/B。我们讨论电机器从A/C相导通向B/C相导通换相过程，以及B/C相导通一个状态角内的有关物理量的变化。参见图1和图4，电机的换相过程如下：开关T2保持开通状态不变，C相绕组电流持续，Tl关断的同时T3开通，B相绕组电流由零开始上升，由于电感的存在A相绕组电流并不能马上降为零，而是通过与T4反并联的二极管D4续流下降，经过一段时间t，A相电流降为零。然后，B、C相电流继续增大，经过时间￡：后本周期结束，下一次换相的来临。在图4给出一个换相周期T内三相电流变化的示意图。

  B/C相导通状态对应一个状态角60度，一个状态角对应的换相周期时间T，它分为两个时间区间：T= t1+ t2。式中，n为电机转速( r/min)，p为极对数。相绕组的电磁时间常数τ=L／R，用x表示一个状态角换相周期时间与绕组电磁时间常数的比。

  分两阶段进行换相过程分析如下：

  1)第一阶段，时间区间t，

  这是A相电流关断阶段，从A相的开关Tl关断开始，到A相电流降至零为止。此过程的等值电路如图2所示。

   

由反电势为平顶120度的梯形波的设定条件，在B/C相导通的换流过程中，三相绕组酌反电势分别为（参见图4）

根据图2所示等值电路，可列出此阶段的电压平衡方程式为：

转换为三相电流方程式

初始条件为：

求取微分方程的解，A相电流为：

在A相电流降到零所需要的时间t，有

利用近似公式：当α足够小时，代人上式，得

可得A相电流降到零所需要的时间t1为：

同理A相电流简化为：

同样求得B相和C相电流的解为:

B相和C相电流的解简化为：

在换相结束时刻t1时，B相和c相电流值为：

 

在此时间区间，A相电路断开，B相和C相电流持续上升，其等值电路如图3所示，以A相电流降至零时间为零时刻，由图2可列出次阶段的电压平衡方程式为：

 

得B相和C相电流的解：

得初始电流的解：

     电机试验时可方便测量的电流时流经电源母线上的平均电流值。这个平均电流值乘以电源母线电压就是输入功率。由于A相电流时通过与开关T4反并联的二级管D2续流，它并不流过电源母线。所以，在我们讨论的B/C相导通状态角内，电源母线上的平均电流值I只和B相电流有关，Ik是B相电流的平均值。

得到平均电流表达式为：

上市显示，一台电机由于电感的存在，与电感为零相比，同一转速时的平均电流下降了。

    在一个状态角内，三相电流都参与电磁转矩气的产生：

 

    在一个r周期内电磁转矩的平均值Ta.的计算：

其中，由式(3)得，

由式(7)得，

  

下面计算，

平均电磁转矩表达式为：

 

   

式中，Tr= KE为只计电阻忽略电感时的平均电磁转矩。

    式(10)计算结果表明，对于x≥0 01，当Ku=2E/U≥0. 6，之比****不超过百分之10，当≥0.7，与t+k之比****不超过百分之5。为方便工程计算，可将，a忽略。这样，平均电磁转矩表示为如下近似公式：

 

    上式显示，一台电机由于电感的存在，与电感为零相比，同一转速时的电磁转矩降低了。

   定义转矩系数KT等于平均电磁转矩与平均电流之比( Nm/A)。当不计电感时，Kr数值上等于反电势系数KE及电感时，由

上式显示，当考虑了电感时，K> KE。这是续流的A相电流产生附加有效转矩的缘故。从数值上来理解，由于转矩系数等于平均电磁转矩与平均电流之比，如前所述，平均屯流等于B相电流平均僮，平均电磁转矩却正比于A相和B相电流产生的转矩，所以转矩系数酶必然比反电势系数KE大。

  上述过程分析表明，在无刷直流电动机中，参与机电能量转换产生电磁转矩的除了从电源来的电流外。还有一个较小的电磁转矩分量是由电流i。产生。从能量转换观点看，这个分量是从来自电源的能量先前已经转换成磁能存储在绕组电感里，然后在续流过程中一部分的磁储能再参与机电能量的

转换，转换成电磁功率，产生电磁转矩。

    为了验证上述分析和计算公式，下面对两个具体电机的实际测定特性数据进行比对。这两个

    无刷直流电动机换相分析和电流转矩解析表达式谭建成电机的数据均来自有关文献，它们分别是磁片表面粘贴转子有槽定子和磁片切向内置转子有槽定子，具有一定代表性的结构形式。为了便于与实测数据对比，我们只进行平均电流转速特性的计算和比较。

例1  表贴式转子有槽定子的无刷直流伺服电动机

    在文献[6]给出的电机型号为57BL-A-10-30 H的表贴式转子有槽定子的无刷直流伺服电动机，100W，星形接法，P=4，一相绕组R- 320，t=

115 -8 =107 mH，329 V时的理想空载转速=5950 r/min。该文给出该样机的实测电流值对应于图5的曲线2。其中5 407 r/min的电流值按同一作者在文献[7]给的数据作了更正。

    由文献[6]所给实测数据，整流前交流电压都是233 V，整流后给功率桥直流电压随着负载电流增加而降低，由此计算出等效电源内阻为24 n，得总等效电阻为2R =32 x2+24 =88 n。可计算得时间常数f= 107×2/88=2 432 ms。KE= 329/5950=0. 0553 V/r．min。利用式(7)可计算出不同转速下的平均电流值。计算结果也图示于图5。

    文献[6]还给出仿真计算结果：在转速4 468 时，输出转矩0.12 Nm，电流0.191 A。在图5中以。表示。由图中曲线，可得到该转速下平均电流/a。的计算结果和实测数据，在表1给出它们的对比。在该负载点(n= 4468 r/min)，实测电流值为0. 241 A，未计及电感时的电流计算值为0.931 A，相差达3.9倍，而按本文公式计算的电流值0. 218A，比文献[6]仿真计算的0 191 A更接近实测电流值。

例2  内置式转子有槽定子的无刷直流电动机

  在文献[4]给出一台内置式转子有槽定子的无刷直流电动机数据：450 V，26 kW，星形接法，p=3，一相绕组R=0.06 n．L=3 1 mH，该文给出该样机的实测数据见图6曲线2。该电机的时间常数比较大：f=3. 110. 06= 51:67  ms，在所讨论的转速范围，比值z约0. 05左右，比较小。按照所给电机数据，计算结果见图6。

    在负载点n= 1180 r/min，实测电流值为50 A，未计及电感时的电流计算值为800 A，相差达16倍，而按本文公式计算的电流值为54 A，与实测电流值接近得多。

    从上述示例可见，电流计算曲线与实测曲线的接近程度较好。计算结果的偏离可能与样机反电势实际波形和设定条件不完全相同有关，此外还与电感值和电阻值的测定准确程度有关。文献[1]特别指出，测试时，随着负载电流增加绕组温升升高，绕组电阻会增大，从而引起特性本身的变化。

    1)从上述两个不同结构不同功率等级的典型电机示例验证比较可见，未计及电感时的电流特性距离实测特性差距很大，而计及电感时计算的电流特性与实测特性相当接近。这说明，对于无刷电机计算和分析研究，绕组电感是必须考虑的；本文的分析和给出的计算公式可用于工程计算。

    2)本文给出计及电感时的平均电流和平均电磁转矩的简洁计算公式，它们计及电感时的值和不计电感时的差距由电机的电磁时间常数和转速决定。

  3)考虑电感时，无刷直流电动机的转矩系数Kr将大于反电势系数KE。