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秦磊1.2，许立忠1
（1 燕山大学，秦皇岛066004；2上海微电子装备有限公司，上海201203）
摘要：该文介绍了静电谐波微电机的基本工作原理。通过分析系统中存在的静电结构耦合关系，并进行离散化处理，建立了结构场和静电场的有限元耦合平衡方程。讨论了静电场和结构场之间存在的耦合条件和各场的边界条件。由结点映射推导出位移和力在两物理场交界面上传递的表达式。总结了静电一结构耦合问题的迭代求解框图和详细步骤。通过对系统的有限元仿真，得到了柔轮的径向位移分布及其随系统参数的变化规律。所得的结果为进一步研究微电机的性能提供了依据。
关键词：静电谐波；静电结构耦合；耦合条件；边界条件；有限元
中图分类号：TM359. 9：THl32. 2 文献标志码：A 文章编号：
0引 言
微机电系统（MEMS)是将微细加工技术与超精密加工技术相结合，以特征尺寸为(0. 5 - 500) ym的可动部件组成的，高度集成机械、电子与控制于一体的系统。随着系统尺寸的不断减小，静电力表现出比机械力和电磁力更明显的优势。静电驱动逐渐成为MEMS领域最常用的驱动方式。研究多能量域耦合问题则一直是MEMS领域关注的重要课题。
Endemano等给出了一种医用双定子双转子的摆动式静电电机的扭矩计算模型；SaITOS t等阐述了具有8个定子电极的圆柱式和圆锥式摆动静电电机的设计结构，并进行了一系列分析和测试。他们提出的模型均存在输出轴摆动，转子与定子之间由于摩擦导致静电能损失等缺陷。本文基于谐波传动原理提出一种新型静电驱动电机——静电谐波微电机。
1静电谐波微电机的工作原理
如图l所示为静电谐波微电机的结构示意图。图l(a)中，传动的柔轮1是半径为r、壁犀为h，有效变形长度为l的薄壁铝制圆柱，柔轮外面是厚度为t的薄层空气。定子是空气层之外的6块用来在不同时刻施加电压的互相绝缘的金属导体2，它们的内壁需经过阳极氧化处理，以获得一层很薄的电静电谐波微电机的静电一结构耦合有限元分析秦磊，等介质层。如图l(b)所示，在定子2的两个相对的对称角度[ -p，p]即扇区AA上施加幅值相等、极性
相反的电压后，会在柔轮1的表面产生一定的感应电荷，于是内外金属体之间形成静电场，所产生的电场力如图中所示。在静电场力的作用下，柔轮必然会发生一定的变形。将幅值相等、极性相反的电压按/所示方向顺序施加于不同的相对应的两个扇区AA，BB和CC内则柔轮会在相应的位置发生变形，由于变形的周期性，柔轮会因此而沿n。所示方向转动起来。如上所述，A，B，C，A，B和C为6路幅值相等的直流开关信号，同一时刻仅两个对应扇区施加极性相反的电压，并将这种电压施加方式沿某一方向顺序切换至下一扇区。
在静电谐波微电机系统中，静电驱动使柔轮发生变形从而产生运动，变形的柔轮又反过来改变了静电场的分布，如此反复直至平衡。系统的正常运转有赖于柔轮的变形，准确而高效地分析柔轮在静电场力作用下的变形是研究系统承载能力的关键所在。本文基于对系统耦合关系的分析，建立了有限元耦合平衡方程，探讨其耦合条件和边界条件，并重点给出了柔轮径向位移的分布规律。
2静电一结构耦合方程
2.1结构场平衡方程
当电压缓慢地施加于静电场的边界上时，整个耦合问题可视为是静态的。静电谐波微电机的柔轮受外层电场的作用将发生变形，遵循弹性结构有限元理论的力平衡方程：
其中，k为结构场的整体刚度矩阵；δs为结点位移列阵；Fs（φ，x）为电场作用于柔轮的力向量，很显然，电场力的大小由静电场的电势西和电场内结点的位移x共同决定。
2.2静电场平衡方程
柔轮外层的电场可由拉普拉斯方程及其边界条件来描述：
式中，ε为介电常数；Ω为静电场场域，场域边界由τb和τo组成；φ(x)为电场的电势，其分布受电场空间结点位移的影响，而电场空间的变化受柔轮变形的影响；n为边界面的法线方向。上述边值问题等价于泛函，(p(z))的最小值问题：
当前问题中，L包括两部分：与柔轮1的外表面紧贴的空气层内表面，其电势为0；与定子2的内表面紧贴的空气层外表面，其电势由施加在定子2上的电压U给出。
将上式通过有限元离散化而转化为一组以结点电势分量为未知量的方程组：
并且
其中，矩阵P中的元素Pij为与单元形函数Ni，以以及相应单元子域Ωe相关的系数；下角标Ω表示矩阵中对应于静电场域以内的部分，τb表示对应于场域门边界的部分；Ω为静电场的电势向量。
2.3静电一结构耦合方程
电场空间内结点位移z的即时分布可用类似于结构场的有限元方程描述：
至此，在以上方程中，方程(1)和(5)之间、方程(4)和(5)之间构成直接的耦合关系。
运用Newton迭代法对上述两场的耦合问题进行求解，最终的求解矩阵方程组应为：
其中，Rs，RE和Rm。分别表示各方程在迭代过程中的残差向量，对由式(6)、式(7)和式(8)组成的方程组进行线性化，可得
式中A为雅克比矩阵
由式(9)可得，笫n次迭代计算场变量增量的公式为：
2.4耦合条件与边界条件
设σs表示结构场的应力张量，σE表示静电场的麦克斯韦应力张量，n表示柔轮和电场的交界面，上某处的法线方向，则交界面上二者之间的力平衡关系如下：
而交界面，上两场之间对应点的位移满足如下的相容条件：
式中，aE为交界面上静电场内某点的位移。
显然，在交界面，上，还应存在连缤性条件：
3位移和力的传递关系
3.1位移的传递
记静电场靠近交界面，的表面为τE，结构场靠近交界面τ的表面为τs。由于静电场与结构场的网格划分在交界面，上的结点不对应，通常需要结点映射的方法实现两场之间的位移或力的传递。设将静电场边界τE上的结点Hk映射至结构场边界τE上得到点Sk，则结合式(121，再利用结构场的单元形函数Hk，可得静电场中该结点的位移为：
式中，σs为结构场单元内结点i的位移is为结构场单元子域内的单元节点数目。
运用式(12)、式(13)和式(14)，将边界上的n个结点映射至τs上时，交界面上的位移由τs上n个结点的位移表示为：
式中，τm为mxn的转换矩阵，
可见，T是由结构场的单元形函数构成。
3.2力的传递
已知在静电场的边界面τE上，某点j的电场力由下式给出：
式中，dA为τE上的增量面积。
用σ和σ分别表示静电场边界τs和结构场边界τE上所允许的虚位移，则结合式(14)可得，在边界面τE上的n个结点的电场力所做的虚功可以表示为：
又在结构场边界面τs体力所做的虚功可由下式给出：
根据能量守恒原理，静电场与结构场在任何时间步冉通过交界画，所传递的能量收支平衡，故由式(16)和(17)可得：
则得交界面f上力的传递公式为
式中，FE为电场力向量。
4耦合问题的迭代步骤
对结构场和静电场模型进行有限元离散化以后，两场之间通过交界面，两侧的结点实现位移和力的传递，整个耦合场问题的求解流程可用图2表示为：
整个耦合方程组进行迭代的过程可以归结为以下几个步骤：
(1)在交界面τ上初始化：
(2)将结构场的位移转换至静电场：
(3)由方程(7)求解静电场内的电势分布函。并进一步求得电场力F
(4)将静电场力转换到结构场：
(5)求解方程(6)得到结构场的位移；
(6)设指定的收敛误差为X，则由范数表达式验证收敛：
5有限元仿真
给定如表1所示系统参数的静电谐波微电机。其中，E，μ分别为柔轮材料的弹性模量和泊松比。
由于静电谐波微电机的驱动和承载能力在很大程度上受到径向变形的影响，因此以分析其径向位移为重点，所得其分布情况如图3所示：
分析图3可知，位移w在φ=0，在180度截面上达到挣得****值，在α截面上层周期性变化规律，在α=0.01m截面上，位移w趋于0
进一步研究径向位移w随系统参数的变化规律，可得图4-图6。
从图4至图6可知：
1)在α=0、φ=o度截面上，位移W随电压U的增大而增大；
2)在α=0、φ=o度截面上，位移w随半径r的增大而增大；
3)在α=0、φ=0度截面上，位移W而随空气隙厚度f的增大而减小。因为当空气隙厚度增大时，相同电压下产生的电场力会相应减小。
静电谐波微电机的输出扭矩随径向位移的增大而增大。综上所述，为了产生较大的电场力，以使柔轮发生较大的径向变形w，可以适当增大电压U、半径r，并尽量减小空气隙厚度l。
6 结 论
静电一结构耦合是广泛存在于诸多MEMS中的耦合作用很强的非线性问题，通过分析结构场和静电场各自的平衡方程，建立耦合平衡方程可以清晰地阐述大多数结构场和静电场的耦合关系。分析两物理场之间的结点映射关系，可以得到转换矩阵L，在两场之间进行位移和力的传递。结合既定的一系列位移和电压边界条件，通过Newton方法可以实现有限元方程组的迭代求解。
文中重点给出了柔轮径向位移的变化规律，以及各种系统参数对径向位移变化的影响，研究结果为分析系统的承载能力奠定了基础，也为进一步研究该种微电机的性能提供了依据。
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